Nel post di ieri ho mostrato come, date le misure delle lunghezze dei lati di un triangolo, è possibile calcolare l'area della superficie del triangolo in questione, in due modi diversi.
Uno dei due sfrutta il teorema di Pitagora applicandolo ai due triangoli rettangoli nei quali un'altezza divide il triangolo di partenza per calcolare l'altezza stessa; l'altro sfrutta il teorema del coseno (o teorema di Carnot), che del teorema di Pitagora costituisce, in qualche modo, una generalizzazione.
Esiste tuttavia una formula, molto elegante nella sua simmetria, che permette di effettuare il calcolo proposto in modo automatico: dette a, b e c le misure dellel unghezze dei tre lati e detta p la misura del semiperimetro del triangolo, l'area S delle superficie del triangolo stesso si può esprimere come segue (la formula è nota come formula di Erone):
$$ p = \frac{a+b+c}{2} $$
$$ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} $$
Al di là dell'eleganza della formula, tuttavia, mi interessava entrare nel dettaglio di come è possibile derivarla dalla generalizzazione di uno dei due approcci presentati ieri, quello basato sul teorema di Pitagora. Di seguito il risultato dei miei quindici minuti di follia (grazie a Francesco per il contributo fotografico).
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