Luoghi

I computer inutilizzabili causa esecuzione di un giro di antivirus straordinario, con tanto di collega deputato ad occuparsi della cosa. Due pennarelli, uno rosso ed uno verde, ed una lavagna.

Quale migliore occasione, nel primo pomeriggio di ieri, per trascinare due colleghi - Laura e Sam, compagni di banco e dunque in qualche modo di viaggio - in un emozionante viaggio nella terra incredibile della geometria analitica e dei luoghi geometrici?

Primo passo: data la definizione di ellisse come luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti, detti fuochi, determinarne l'equazione - che ricordiamo essere $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$ nel caso di ellisse centrato nell'origine che interseca gli assi in$$A_{1,2} (\pm a, 0)$$ e $$B_{1,2} (0, \pm b)$$.

Nell'immagine che segue i passaggi del calcolo (essendo $$F_{1,2} (\pm f, 0)$$ i fuochi):

Secondo passo: determinare l'equazione del luogo dei punti che vedono l'ellisse sotto un angolo retto, di quei punti cioè le tangenti all'ellisse passanti per i quali risultano perdendicolari tra loro.

Nell'immagine che segue la lavagnata con la soluzione.

Nel dettaglio, si procede così:

1. si scrive l'equazione dell'ellisse: $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$
2. si scrive l'equazione della generica retta di coefficiente angolare $$m$$ passante per $$P(x_p, y_p)$$: $$y = y_p + m(x - x_p) $$
3. si mettono in sistema le due equazioni, ottenendo un'equazione di secondo grado in x per la quale si pone uguale a zero il determinante (condizione per la quale le rette risultano tangenti alla conica)
4. si ottiene un'equazione di secondo grado in m, le cui soluzioni sono i coefficienti angolari delle tangenti all'ellisse in funzione di $$(x_p, y_p)$$
5. si pone la condizione di ortogonalità: le due soluzioni $$m_{1,2}$$ devono essere antireciproche. Anziché calcolare $$m_{1,2}$$ e porre $$m_1 = -\frac{1}{m_2}$$, si mostra che il prodotto delle soluzioni di un'equazione $$Am^2 + Bm + C = 0$$ risulta essere $$\frac{C}{A}$$, e si pone pertanto $$C = -A$$

Per la cronaca, il luogo in questione risulta essere la circonferenza $$x^2 + y^2 = a^2 + b^2$$, di centro l'origine e raggio $$\sqrt{a^2 + b^2}$$.

UPDATE: il luogo dei punti che vedono una curva C data sotto un angolo retto è detto curva ortottica di C.